בגרות קיץ 2025 מועד א׳ – וקטורים בפירמידה ABCEוקטורים 472 · שיעור 32
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCE. הנקודה D היא אמצע המקצוע BC. הנקודה M נמצאת על ED כך ש־EM = 23ED. המקצוע AE הוא גובה בפירמידה. נתון: הזווית BAC היא 90 מעלות.
נסמן: AB = u , AC = v , AE = w.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים BC , ED ו־AM.
נתון: |u| = |v| = |w| = 12.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) הוכיחו כי AM מאונך ל־ED. (2) הוכיחו כי AM מאונך למישור BEC.
נתון: A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מה הם שיעורי הנקודות B , C ו־E? (2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־M.
ד. חשבו את שטח המשולש AMD.
סעיף א – הבעת הווקטורים
הווקטור BC: מ־B חוזרים ל־A ומשם הולכים ל־C:
BA = −AB = −u
📐 וקטור נגדי
BC = BA + AC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב BA = −u , AC = v:
BC = −u + v
הווקטור ED: מ־E יורדים ל־A, ומשם הולכים ל־D:
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
הווקטור ED: מ־E יורדים ל־A, ומשם הולכים ל־D:
ED = EA + AD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
EA = −w
📐 וקטור נגדי
D אמצע BC, ולכן AD הוא חצי מסכום הווקטורים לקצוות:
AD = 12(u + v) = 12u + 12v
📐 אמצע קטע (וקטורים)
נציב EA = −w , AD = 12u + 12v:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 וקטור נגדי
YX = −XY
📐 אמצע קטע (וקטורים)
AD = 12(AB + AC)
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
נציב EA = −w , AD = 12u + 12v:
ED = −w + 12u + 12v = 12u + 12v − w
הווקטור AM: מ־A עולים ל־E ומשם 23 מהדרך אל D:
AM = AE + EM
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AE = w , EM = 23ED = 23(12u + 12v − w):
AM = w + 23(12u + 12v − w)
📐 כפל וקטור במספר
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 כפל וקטור במספר
k(a + b) = ka + kb
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
AM = w + 23(12u + 12v − w)
📐 כפל וקטור במספר
AM = w + 13u + 13v − 23w
מכנסים את האיברים עם w: w − 23w = 13w
AM = 13u + 13v + 13w
✅ פתרון סופי: BC = −u + v , ED = 12u + 12v − w , AM = 13u + 13v + 13w
📐 כפל וקטור במספר
k(a + b) = ka + kb
סעיף ב (1) – AM מאונך ל־ED
AE גובה, ולכן w מאונך לבסיס – גם ל־u וגם ל־v. הזווית BAC ישרה, ולכן u מאונך ל־v:
u · v = 0 , u · w = 0 , v · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
u2 = v2 = w2 = 122 = 144
📐 אורך וקטור
נציב AM = 13(u + v + w) , ED = 12u + 12v − w:
AM · ED = 13(u + v + w) · (12u + 12v − w)
📐 וקטורים מאונכים
פותחים סוגריים. כל מכפלה של שני וקטורים שונים היא 0, ולכן נשארים רק הריבועים:
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a = a2
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ב (1) – AM מאונך ל־ED · המשך
פותחים סוגריים. כל מכפלה של שני וקטורים שונים היא 0, ולכן נשארים רק הריבועים:
AM · ED = 13(12u2 + 12v2 − w2)
📐 פתיחת סוגריים
נציב u2 = v2 = w2 = 144:
AM · ED = 13(12 · 144 + 12 · 144 − 144)
AM · ED = 13(72 + 72 − 144) = 13 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית 0, ולכן AM ⊥ ED
📐 פתיחת סוגריים
(a + b + c)(d + e + f) = ad + ae + af + bd + ...
סעיף ב (2) – AM מאונך למישור BEC
מספיק להראות ש־AM מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BEC. הישר ED כבר נבדק בסעיף ב (1). נבדוק גם את BC:
נציב AM = 13(u + v + w) , BC = −u + v:
AM · BC = 13(u + v + w) · (−u + v)
📐 וקטורים מאונכים
AM · BC = 13(−u2 + v2)
📐 פתיחת סוגריים
נציב u2 = v2 = 144:
AM · BC = 13(−144 + 144) = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 פתיחת סוגריים
(a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce
סעיף ב (2) – AM מאונך למישור BEC · המשך
AM · BC = 13(−144 + 144) = 0
ED ו־BC נמצאים במישור BEC ונחתכים בנקודה D. AM מאונך לשניהם.
📐 ישר מאונך למישור
✅ פתרון סופי: AM מאונך למישור BEC
📐 ישר מאונך למישור
ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
סעיף ג – שיעורי הנקודות
A בראשית, והמקצועות AB , AC , AE באורך 12 על החלקים החיוביים של הצירים:
B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12)
D אמצע BC:
D(12 + 02 , 0 + 122 , 0 + 02) = D(6 , 6 , 0)
📐 אמצע קטע
את M מקבלים מ־AM – כל וקטור בכיוון ציר באורך 12:
u = (12 , 0 , 0) , v = (0 , 12 , 0) , w = (0 , 0 , 12)
📐 אמצע קטע
(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
סעיף ג – שיעורי הנקודות · המשך
u = (12 , 0 , 0) , v = (0 , 12 , 0) , w = (0 , 0 , 12)
AM = 13(u + v + w)
נציב את u , v , w שמצאנו:
AM = 13((12 , 0 , 0) + (0 , 12 , 0) + (0 , 0 , 12))
📐 כפל וקטור במספר
AM = 13(12 , 12 , 12)
AM = (4 , 4 , 4)
📐 כפל וקטור במספר
k(a + b) = ka + kb
סעיף ג – שיעורי הנקודות · המשך
AM = (4 , 4 , 4)
M = A + AM
נציב A(0 , 0 , 0) , AM = (4 , 4 , 4):
M = (0 , 0 , 0) + (4 , 4 , 4)
M = (0 + 4 , 0 + 4 , 0 + 4)
M = (4 , 4 , 4)
סעיף ג – שיעורי הנקודות · המשך
M = (4 , 4 , 4)
בדיקה: גם בדרך שנייה: EM = 23ED ← M = E + 23(D − E) = (0 , 0 , 12) + 23(6 , 6 , −12) = (4 , 4 , 4) ✓
✅ פתרון סופי: B(12 , 0 , 0) , C(0 , 12 , 0) , E(0 , 0 , 12) ; D(6 , 6 , 0) , M(4 , 4 , 4)
סעיף ד – שטח המשולש AMD
M נמצאת על ED, ו־AM מאונך ל־ED (סעיף ב (1)). לכן הזווית AMD ישרה, והמשולש AMD ישר זווית ב־M.
AM = |(4 , 4 , 4)| = √(16 + 16 + 16)
📐 אורך וקטור במרחב
AM = √48 = 4√3 ≈ 6.93
MD = D − M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 − 4) = (2 , 2 , −4)
📐 וקטור בין שתי נקודות
MD = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6 ≈ 4.90
📐 אורך וקטור במרחב
S = AM · MD2
📐 שטח משולש ישר זווית
📐 אורך וקטור במרחב
|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 אורך וקטור במרחב
|(x , y , z)| = √(x2 + y2 + z2)
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ד – שטח המשולש AMD · המשך
S = AM · MD2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב AM = 4√3 , MD = 2√6:
S = 4√3 · 2√62
√3 · √6 = √18 = 3√2
📐 כפל שורשים
S = 8 · 3√22 = 12√2 ≈ 16.97
בדיקה: ב־AMD: AM2 + MD2 = 48 + 24 = 72 , AD2 = 62 + 62 = 72 ✓
📐 משפט פיתגורס
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📐 כפל שורשים
√a · √b = √(a · b)
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
סעיף ד – שטח המשולש AMD · המשך
בדיקה: ב־AMD: AM2 + MD2 = 48 + 24 = 72 , AD2 = 62 + 62 = 72 ✓
📐 משפט פיתגורס
✅ פתרון סופי: S = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BC = −u + v
ED = 12u + 12v − w
AM = 13(u + v + w)
ED = 12u + 12v − w
AM = 13(u + v + w)
סעיף ב
הוכחה (מכפלה סקלרית 0)
סעיף ג
B(12,0,0) , C(0,12,0) , E(0,0,12)
D(6,6,0) , M(4,4,4)
D(6,6,0) , M(4,4,4)
סעיף ד
12√2 ≈ 16.97
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא